Question

如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，請你探究線段DE與AM之間的關系．
說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；
（2）在你經歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．
①畫出將△ACM繞某一點順時針旋轉180°后的圖形；
②∠BAC=90°（如圖）

附加題：如圖，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內作等腰直角△ABE和△ACD，其它條件不變，試探究線段DE與AM之間的關系．

Answer 1

解：（1）分三種情況；
當∠BAC=90°，M是BC的中點
∴AM=BM=MC=
∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD
∴△ABC≌△AED
∴ED=BC
∴ED=2AM
同理當∠BAC＞90°，易得ED=2AM
當∠BAC＜90°，易得ED=2AM

（2）已知（1）的結論，若∠BAC=90°，可得ED=2AM
附加：結合上題可得：2AM=DE
延長CA到F使AF=AC，連接BF
易證△ABF≌△ADE
∴BF=DE
∵2AM=BF
∴2AM=DE．
分析：（1）分三種情況討論，當∠BAC=90°，易得△ABC≌△AED；根據直角三角形的性質，可得ED=2AM；進而可以在∠BAC＞90°與∠BAC＜90°時，比較可得有ED＞2AM的結論；
（2）根據（1）的結論，選取②易得答案．
點評：本題為探究性題目，要求學生能全面考查可能出現的情況，并依次求出其中的關系．