Question

如圖，AB是半圓O的直徑，以O(shè)A為直徑的半圓O′與弦AC交于點(diǎn)D，O′E∥AC，并交OC于點(diǎn)E，則下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)；②S_△O′OE=S_△AOC；③2

AD

=

AC

；④四邊形O′DEO是菱形，其中正確的結(jié)論有（　　）個(gè)．

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①連接DO，利用園中角定理以及垂徑定理求出即可；
②利用相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方求出即可；
③利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式求出即可；
④根據(jù)菱形的判定得出即可．

解答：解：①連接DO，
∵AO是半圓直徑，
∴∠ADO=90°，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，即點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．
故①正確；
②∵O′E∥AC，
∴△EO′O∽△AOC，
∴

OO′

AO

=

1

2

，
∴S_△O′OE=

1

4

S_△AOC，
故②錯(cuò)誤；
③∵OD⊥AC，AD=DC，
∴∠AOD=∠DOC，
∴∠AO′D=∠AOC，AO=2AO′，
∴2

AD

=

AC

；
故③正確；
④④∵D為AC中點(diǎn)，O′為AO中點(diǎn)，
∴DO′是△AOC中位線，
∴DO′∥CO，
∵O′E∥AC，
∴O′為AO中點(diǎn)，
∵D為AC中點(diǎn)，
∴DE∥AO，
∴四邊形DO′OE是平行四邊形，
∵DO′=O′O，
∴四邊形O′DEO是菱形．
∴④正確．
綜上所述，只有①③④正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題步驟繁瑣，但相對(duì)而言，難易程度適中，很適合學(xué)生的訓(xùn)練是一道典型的題目．