Question

如圖，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O為△ABC內一點，∠OAB=10°，∠OBA=30°，則線段AO的長是多少？

Answer 1

分析：先作輔助線，作∠CAO的平分線AD，交BO的延長線于D，連接CD．根據條件可證得△ACD≌△BCD，再可證得△ACD≌△AOD，即可得AO=AC=5．

解答：解：如圖，作∠CAO的平分線AD，交BO的延長線于D，連接CD．
∵∠ACB=80°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=50°，（3分）
又∠OAB=10°，
∴∠CAO=40°，
∴∠CAD=∠OAD=20°，∠DAB=10°+20°=30°=∠DBA，
∴AD=BD，∠ADB=120°，（5分）
在△ACD與△BCD中，

AC=BC AD=BD CD=CD

，
∴△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠CDA=∠CDB=

360°-120°

2

=120°．（7分）
在△ACD與△AOD中，

∠CAD=∠OAD AD=AD ∠CDA=∠ODA

，
∴△ACD≌△AOD（ASA），（9分）
∴AO=AC=5．（10分）

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，涉及到三角形內角和定理、角平分線的性質等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．