Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，雙曲線與直線y₂=k′x+b交于點A、E兩點．AE交x軸于點C，交y軸于點D，AB⊥x軸于點B，C為OB中點．若D點坐標為（0，-2）且S_△AOD=4．
（1）求雙曲線與直線AE的解析式．
（2）求E點的坐標．
（3）觀察圖象，寫出y₁＞y₂時x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）需求A點坐標，由S_△AOD=4，點D（0，-2），可求A的橫坐標；由C是OB的中點，可得OD=AB求出A點縱坐標，從而求出反比例函數解析式；根據A、D兩點坐標求一次函數解析式；
（2）根據（1）中所求出雙曲線解析式和直線AE的解析式組成方程組，求出x，的值，再根據E所在的象限即可求出它的坐標；
（3）觀察圖象知，分兩種情況討論，當y₁＞y_{2時得出x的取值范圍}；
解答：解：（1）作AM⊥y軸于點M，
∵D（0，-2），
∴DO=2，
∵S_△AOD=4且AM⊥y軸，
∴，
∴AM=4．
∵y軸⊥x軸，AB⊥x軸，
∴∠ABC=∠DOC=90°．
∵C為OB中點，
∴BC=OC．
∵∠ACB=∠DCO，
∴△ABC≌△DOC（ASA），
∴AB=DO=2，
∴A（4，2）．
∵雙曲線過A，
∴
∴k=8，
∴雙曲線解析式為：．
∵直線AE過A（4，2）與D（0，-2），
∴，
解之得，
∴直線AE解析式為：y=x-2；

（2）根據（1）得：，
解得，
根據E所在的象限得，E（-2，-4）；

（3）在y軸的右側，當y₁＞y₂時，x的取值范圍是：0＜x＜4，
在y軸的左側，當y₁＞y₂時，x的取值范圍是x＜-2，
所以y₁＞y₂時x的取值范圍是：0＜x＜4或x＜-2．
點評：此題考查了反比例函數的綜合；熟練掌握通過求點的坐標進一步求函數解析式的方法；通過觀察圖象解不等式時，從交點看起，函數圖象在上方的函數值大．