Question

如圖，已知C是線段AB上任意一點（C點不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在直線AB的同側作等邊△ACD和等邊△BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N．求證：
（1）△ACE≌△DCB；
（2）MN∥AB．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可以得出AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，就可以求出∠ACE=∠DCB=120°，由邊角邊就可以得出△ACE≌△DCB，
（2）根據條件可以得出△DCN≌△ACM，就有CM=CM．就可以得出△CNM是等邊三角形，就可以得出∠CNM=∠BCN=60°，就有MN∥AB．

解答：解：（1）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠ACD．
在△DCN和△ACM中

∠CAE=∠CDB AC=DC ∠DCE=∠ACD

，
∴△DCN≌△ACM（ASA），
∴CN=CM．
∵∠DCE=60°，
∴△MCN是等邊三角形，
∴∠MNC=60°，
∴∠CNM=∠BCN，
∴MN∥AB．

點評：本題考查了等邊三角形的判定及性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，平行線的判定的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．