Question

已知正n邊形共有n條對角線，它的周長等于p，所有對角線長的和等于q，求的值．

Answer 1

【答案】分析：n邊形的對角線有n•（n-3）條，根據正n邊形共有n條對角線，列方程即可求得多邊形的邊數為5．再作正五邊形ABCDE，連接AD，根據正五邊形的特點求出△ABC≌△AED，△ACD為等腰三角形，作∠ACD的平分線，交AD于F；根據△ACD與△CDF各角的度數可求出△FCD∽△CAD，根據其對應邊成比例即可解答．
解答：解：設這個多邊形的邊數是n．
根據題意得：n•（n-3）=n，
解得：n=5．
則多邊形的邊數是5．

作正五邊形ABCDE，連接AD；
∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴∠ABC=∠BAE==108°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB==36°，
同理可知，∠AED=108°，AB=BC=AE=DE，
∴△ABC≌△AED，AC=AD；
∵∠BAC=∠DAE=36°，∠BAE=108°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°，
∴∠ACD=∠ADC=72°；
作∠ACD的平分線，交AD于F，根據題意，∠CAD=36°，∠ACD=∠ADC=72°；
∴∠ACF=∠FCD=36°，AF=CF=CD，
∴△FCD∽△CAD，
∵正n邊形共的周長等于p，所有對角線長的和等于q，
∴CD=，AC=則=，即=，
∴=，
=-1，即=1．
故的值為1．
點評：本題考查了多邊形的對角線與邊的關系和正五邊形的性質，解答此題的關鍵是熟知正五邊形的特點，及全等、相似三角形的判定定理及性質，作出輔助線，構造出相應的三角形．