Question

將2，3，4，5…n（n為大于4的整數）分成兩組，使得每組中任意兩數之和都不是完全平方數．那么，整數n可以取得的最大值是______．

Answer 1

{2，3，4，5…n}為了將這些分成兩組，使得每組中任意兩數之和都不是完全數，那么將某一平方數表示成兩個數的和之后，這兩個數必不能分在同一組．比如9=2+7，那么2、7必須要分在不同的組．
我們假設分成的這兩組數是
A={a₁，a₂…ai}，
B={b₁，b₂，…bj}，
那么必有 ak∈A，而m²-ak≠ak時，必有 {m²-ak}∈B （其中m=2，3，4，5…），
同樣地，也必有bk∈B時，而m²-bk≠bk時，必有 {m²-bk}∈A （m=2，3，4，5…），
這樣，不失一般性，我們假設2分在A組，即 a₁=2，
那么 {m²-2}∈B
b₁=3²-2=7，
b₂=4²-2=14，
b₃=5²-2=23
同樣地，當 b₁=7時  {m²-7}∈A，即
{4²-7，52-7，6²-7…}∈A，
這樣，我們有：
A={2，9，18，29，11，4，13，6，8，15，20，22，24，26}
B={7，14，23，34，5，12，3，10，16，17，19，21，25，27}
這種分組方案是不可調整的，就是說，無論從A取什么數到B，B中都會出現兩個數的和是完全平方數，同樣地，也不能從B中取某數到A中．
所以，n的最大值是27．
故答案為：27．