Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，AD=16cm，動點E、F分別從A點、C點同時出發，均以2cm/s的速度分別沿AD向D點和沿CB向B點運動．
（1）經過幾秒首次可使EF⊥AC？
（2）若EF⊥AC，在線段AC上，是否存在一點P，使2EP•AE=EF•AP？若存在，請說明P點的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）易證EF一定平分AC，當EF⊥AC時，△AEM∽△ACD，利用相似三角形的對應邊的比相等即可求得AE的長，從而求得時間t的值；
（2）當EP⊥AD時，根據相似三角形的性質可以得到2EP•AE=EF•AP，根據△AEP∽△ADC，即可求得AP的長．
解答：解：（1）在直角△ACD中，AC===20cm．
設經過ts時EF⊥AC．
則AE=CF=2t，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACF，
在△AME和△CMF中，
，
∴△AME≌△CMF（AAS）．
則AM=MC=AC=×20=10cm．
當EF⊥AC時，△AEM∽△ACD，
∴=，即=，
解得：AE==．
則t==（s）；


（2）存在．
∵△AME≌△CMF，

∴ME=MF=EF，
當EP⊥AD時，△AME∽△AEP，=，即AE•EP=AP•ME=AP•EF，
即2EP•AE=EF•AP．
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴EP∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴=，即=，
解得：AP=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，以及矩形的性質，正確理解當EP⊥AD時，2EP•AE=EF•AP成立，是關鍵．