Question

（1）已知有一條拋物線的形狀（開口方向和開口大小）與拋物線y=2x²相同，它的對稱軸是直線x=-2；且當x=1時，y=6，求這條拋物線的解析式．
（2）定義：如果點P（t，t）在拋物線上，則點P叫做這條拋物線的不動點．
①求出（1）中所求拋物線的所有不動點的坐標；
②當a、b、c滿足什么關系式時，拋物線y=ax²+bx+c上一定存在不動點．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題意代入數值求出a，b，c即可；
（2）①設P（t，t）是拋物線的不動點，則2t²+8t-4=t解得t的值，求得點P坐標；
②設P（t，t）是拋物線的不動點，則at²+bt+c=t分兩種情況討論：當（b-1）²-4ac≥0時，這個方程有實數解；當△=（b-1）²-4ac≥0時，拋物線上一定存在不動點．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）
由已知可得a=2，∴

- b 4 =-2 6=2+b+c

．
解得：b=8，c=-4
∴拋物線的解析式為y=2x²+8x-4（2分）
（2）①設P（t，t）是拋物線的不動點，則2t²+8t-4=t
解得：t1=

1

2

，t2=-4，∴不動點P1(

1

2

，

1

2

)，P2(-4，-4)（4分）
②設P（t，t）是拋物線的不動點，則at²+bt+c=t
∴at²+（b-1）t+c=0
∴當（b-1）²-4ac≥0時，這個方程有實數解，
∴當△=（b-1）²-4ac≥0時，拋物線上一定存在不動點．（6分）

點評：本題是一道二次函數的綜合題，考查了用待定系數法求二次函數的解析式以及動點問題，難度較大．