Question

已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于點D，以D為坐標原點，CD所在直線為y軸建立如圖所示平面直角坐標系．
（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）若⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內切圓，求直線O₁O₂的解析式；
（3）若直線O₁O₂分別交AC，BC于點M，N，判斷CM與CN的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據題意先證明△ADC∽△ACB，所以AC²=AD•AB，求得AD的長，同理DB，CD，從而求出A，B，C三點坐標；
（2）設⊙O₁的半徑為r₁，⊙O₂的半徑為r₂，根據面積公式可知S_△ADC，從而得到r₁，r₂，由此可求得直線O₁O₂的解析式；
（3）由（1）易得直線AC的解析式，聯立直線O₁O₂的解析式，求得點M的縱坐標為，過點M作ME⊥y軸于點E，由Rt△CME∽Rt△CAD得出比例關系，解得CM的長，同理得CN的長，再判斷CM與CN的大小關系．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，CD⊥AB
∴△ADC∽△ACB，∴AC²=AD•AB，
∴AD=

16

5

；
同理DB=

9

5

，CD=

12

5

，
∴A（-

16

5

，0），B（

9

5

，0），C（0，

12

5

）

（2）設⊙O₁的半徑為r₁，⊙O₂的半徑為r₂，
則有S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

（AD+CD+AC）r₁
∴r1=

AD•CD

AD+CD+AC

=

4

5

，同理r2=

3

5

；
∴O1(-

4

5

，

4

5

)，O2(

3

5

，

3

5

)；
由此可求得直線O₁O₂的解析式為：y=-

1

7

x+

24

35

；

（3）CM與CN的大小關系是相等．
證明如下：法一：由（1）易得直線AC的解析式為：y=

3

4

x+

12

5

，
聯立直線O₁O₂的解析式，求得點M的縱坐標為yM=

24

25

，
過點M作ME⊥y軸于點E，
∴CE=CD-DE=

36

25

；由Rt△CME∽Rt△CAD，得

CE

CD

=

CM

CA

，
解得：CM=

12

5

，同理CN=

12

5

，∴CM=CN；
法二：∵⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內切圓，
∴∠O₁DE=∠O₂DE=

1

2

×90°=45°，
∴∠O₁DO₂=90°，
∴∠O₁DO₂=∠ACB
∵△ACD∽△CBD，⊙O₁，⊙O₂分別為△ACD，△BCD的內切圓，
∴

DO1

DO2

=

AC

BC

∴Rt△O₁O₂D∽Rt△ABC，
∴∠O₂O₁D=∠BAC，
由此可推理：∠CMN=∠O₁DA=45°，
∴∠CNM=45°，∴CM=CN．

點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用，解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．