Question

如圖，正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為2

2

和

2

，對角線BD、FH都在直線L上，O₁、O₂分別是正方形的中心，線段O₁O₂的長叫做兩個正方形的中心距．當中心O₂在直線L上平移時，正方形EFGH也隨平移，在平移時正方形EFGH的形狀、大小沒有改變．
（1）計算：O₁D=

 

，O₂F=

 

．
（2）當中心O₂在直線L上平移到兩個正方形只有一個公共點時，中心距O₁O₂=

 

．
（3）隨著中心O₂在直線L上的平移，兩個正方形的公共點的個數還有哪些變化？并求出相對應的中心距的值或取值范圍（不必寫出計算過程）．

Answer 1

分析：（1）根據正方形對角線是正方形邊長的

2

倍可得正方形的對角線長，除以2即為所求的線段的長；
（2）此時中心距為（1）中所求的兩條線段的和，若只有一個公共點，則點D與點F重合，由此可得出答案．
（3）動手操作可得兩個正方形的邊長可能沒有公共點，有1個公共點，2個公共點，或有無數個公共點，據此找到相應取值范圍即可．

解答：解：（1）O₁D=2

2

×

2

÷2=2；O₂F=

2

×

2

÷2=1．
故答案為2，1；（3分）

（2）點D、F重合時有一個公共點，O₁O₂=2+1=3．
故答案為3．
（3）兩個正方形的邊長有兩個公共點時，1＜O₁O₂＜3（6分）
無數個公共點時，O₁O₂=1；（7分）
1個公共點時，O₁O₂=3；（8分）
無公共點時，O₁O₂＞3或0≤O₁O₂＜1．（10分）

點評：考查正方形的動點問題；需掌握正方形的對角線與邊長的數量關系；動手操作得到兩正方形邊長可能的情況是解決本題的主要方法．