Question

如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交于⊙O內，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=8

6

，則MC-ND=

 

．

Answer 1

分析：設AB、NM交于H，做OE⊥AB于E，連接OB，利用垂徑定理及勾股定理可求出OE，再推△OEH∽△MCH∽△NDH，然后就可利用OH表示MC、ND，從而可求出答案．

解答：解：設AB、NM交于H，做OE⊥AB于E，連接OB，
∵MN是⊙O的直徑，且MN=20，弦AB的長為8

6

，
∴AE=BE=4

6

，OE=

OB2-BE2

=2，
∵MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，OE⊥AB于E，
∴MC∥OE∥DN
∴△OEH∽△MCH∽△NDH，
∴

MC

OE

=

MH

OH

，即

MC

2

=

10+OH

OH

，

DN

OE

=

NH

OH

，即

DN

2

=

10-OH

OH

，
∴

1

2

（MC-DN）=2
∴MC-DN=4．
故答案為4．

點評：本題考查了垂徑定理以及相似三角形的判定和性質，正確添加輔助線是解題的關鍵．解決與弦有關的問題，往往要作弦的弦心距．