Question

如圖，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）．已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的體積V；
（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？

Answer 1

解：（1）根據題意，設AE=BF=x（cm），折成的包裝盒恰好是個正方體，
知這個正方體的底面邊長NQ=ME=QE=QF=x，故EF=ME=2x，
∵正方形紙片ABCD邊長為24cm，
∴x+2x+x=24，
解得：x=6，
則 正方體的底面邊長a=6，
V=a³==432（cm³）；
 答：這個包裝盒的體積是432cm³； 

（2）設包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則a=，h=，
∴S=4ah+a²=4x（12-x）+=-6x²+96x=-6（x-8）²+384，
∵0＜x＜12，
∴當x=8時，S取得最大值384cm²．
分析：（1）根據已知得出這個正方體的底面邊長NQ=ME=x，EF=ME=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出這個包裝盒的體積V；
（2）利用已知表示出包裝盒的表面，進而利用函數最值求出即可．
點評：此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數最值求法，根據已知得出正方體的邊長x+2x+x=24是解題關鍵．