Question

已知，拋物線y=ax²+bx-3a經過A（-1，0）、C（0，-3）兩點，與軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點D與C關于拋物線的對稱軸對稱，求點D關于直線BC對稱的點的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接DB，問在拋物線上是否存在一點M，使∠DBM=45°？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、C的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯立方程組求得該拋物線的解析式；
（2）根據（1）題所得拋物線的解析式，可確定拋物線的對稱軸方程以及B、C的坐標，進而可求得D點坐標以及CD的長；由于CD∥AB，可求得∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°（由于OB=OC=3），因此CB是∠OCD的角平分線，那么點D關于直線BC的對稱點必在y軸上，過D作DD′⊥BC交y軸于D′，根據角平分線的性質可得CD′=CD，由此可求出點D′的坐標；
（3）在（2）中已經證得∠OBC=45°，若∠DBM=45°，那么∠OBM=DBC，過D作DE⊥BC于E，設直線BM交y軸于P，根據上面得到的等角，易證得△BOP∽△BED，由于△CDE是等腰Rt△，且已知CD的長，易求得CE、BE、DE的值，根據相似三角形所得比例線段，即可求得OP的值，也就得到了點P的坐標，利用待定系數法可求得直線BP的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出點M的坐標．

解答：解：（1）由題意得：將A（-1，0），C（0，-3）代入y=ax²+bx-3a得：

a-b-3a=0 -3a=-3

，
解得

a=1 b=-2

∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，與x軸的另一個交點是B（3，0），
則點C關于拋物線對稱軸的對稱點D（2，-3），
∴CD=2，且CD∥AB
∵OC=OB=3，且∠COB=90°，
∴∠OCB=∠BCD=45°
過點D作DD′⊥BC交y軸于點D′，則CD′=CD=2；
∴點D′（0，-1）
即點D關于直線BC對稱點的坐標為D′（0，-1）；

（3）假設存在這樣的點M，使∠DBM=45°，設BM交y軸于點P；
∵∠OBC=∠DBM=45°，
∴∠OBP=∠CBD；
過點D作DE⊥BC，
∵∠BCD=45°，CD=2，∴CE=DE=

2

，
∴BE=BC-CE=2

2

；
又∵∠BED=∠BOP=90°，
∴△BOP∽△BED，
∴

BO

BE

=

OP

DE

，
∴OP=1.5，即P（0，-1.5）；
∴直線BP的解析式為：y=

1

2

x-

3

2

；
∴拋物線與直線BP的交點M

y=x2-2x-3 y= 1 2 x- 3 2

，
解得

x1=- 1 2 y1=- 7 4

或

x2=3 y2=0

（不合題意，舍去）
∴存在這樣的點M，即M（-

1

2

，-

7

4

）．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、軸對稱的性質、角平分線的性質、相似三角形的判定和性質以及函數圖象交點坐標的求法等知識，綜合性強，難度較大．