Question

已知關于x的方程mx²+2（m+1）x+m=0有兩個實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若方程的兩個實數根的平方和為6，求m的值．

Answer 1

分析：（1）若一元二次方程有兩個實數根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）兩個實數根的平方和為6，即（α+β）²-2αβ=6，根據一元二次方程的根與系數的關系解答．

解答：解：（1）由題意，得

△=4(m+1)2-4m2≥0 m≠0

解之得：m≥-

1

2

且m≠0；
（2）設原方程的兩個根為α、β，
則α+β=-

2(m+1)

m

，αβ=1．
依題意，得α²+β²=6，
∴（α+β）²-2αβ=6．
即

4(m+1)2

m2

-2=6
解之得m₁=1+

2

，m₂=1-

2

，
由（1）知：m≥-

1

2

且m≠0，
∵1+

2

＞-

1

2

，1-

2

＞-

1

2

∴m=1±

2

．

點評：總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
一元二次方程根與系數的關系：x_l+x₂=-

b

a

；x_l•x₂=

c

a

．