Question

已知∠ABC=90°，點P為射線BC上任意一點（點P與點B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內部作等邊△ABE和△APQ,連結QE并延長交BP于點F.

（1）如圖1，若AB=，點A、E、P恰好在一條直線上時，求此時EF的長（直接寫出結果）；
（2）如圖2，當點P為射線BC上任意一點時，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產生新的線段），并加以證明；
（3）若AB=，設BP=4，求QF的長．

Answer 1

1）EF=2（2）EF=BF，見解析（3）6

解：（1）EF=2．                    3分

（2）EF=BF．                                　　 4分
證明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP， 
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，
∴ ∠BAP="∠EAQ" ．              
在△ABP和△AEQ中， 
AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ，
∴ △ABP≌△AEQ．
∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．
∴ ∠BEF．
又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，
∴EF=BF．                            8分
　　(3) 在圖1中，過點F作FD⊥BE于點D．
    　∵ △ABE是等邊三角形,
　 ∴ BE=AB=．
由（2）得 30°，
在Rt△BDF中， ．   
∴ BF= ．  
∴ EF=2 ．  　　　 10分
∵  △ABP≌△AEQ ,
     ∴ QE=BP=4．   　　12分
∴ QF=QE＋EF＝4＋2＝6
（1）利用解直角三角形求解
（2）利用全等三角形求證
(3)過點F作FD⊥BE于點D，利用三角函數求出EF的長，再求證△ABP≌△AEQ，求得QE的長，從而求出QF的長