Question

在直角坐標系中，M為x軸正半軸上一點，⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，P為AB延長線上一點（不含B點），連接PC交⊙M于Q，連接DQ，若A（-1，0），C（0，

3

）

（1）求圓心M的坐標；
（2）過B點作BH⊥DQ于H，當P點運動時，線段CQ、QH、DH有何數量關系，證明你的結論；
（3）R為⊙M的直徑DF延長線上的一個動點（不包括F點），過B、F、R三點作⊙N，CF交⊙N于T，當R點在DF延長線上運動時，FT-FR的值是否變化？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接MC、AC，根據A、C坐標求出∠CAM，得出等邊三角形CAM即可；
（2）連接BC、BD，在DQ上截取DN=CQ，連接BN，由垂徑定理求出CO=DO，CB=DB，根據SAS證△CQB≌△DNB，推出BN=BQ，求出QH=HN即可；
（3）連接BF、BT、BR，推出△FMB是等邊三角形，得出BF=BM，∠FBM=60°，求出CF∥AB，推出∠TFB=∠FMB，加上∠R=∠T，得出△RBM≌△TBF，得出FT=MR，求出FT-FR=FM=2．

解答：（1）解：連接MC、AC，
∵A（-1，0），C（0，

3

），
∴OA=1，OC=

3

，AC=

( 3 )2+12

=2
tan∠CAB=

OC

OA

=

3

，
∴∠CAB=60°，
∵MA=MC，
∴△ACM是等邊三角形，
∴MA=MC=AC=2，
∴OM=2-1=1，
即M的坐標是（1，0）；

（2）線段CQ、QH、DH的數量關系是CQ=DH-HQ，
證明：連接BC、BD，在DQ上截取DN=CQ，連接BN，
∵AM⊥CD，
∴由垂徑定理得：CO=DO，
∴CB=DB，
∵∠QCB和∠QDB都對弧BQ，
∴∠QCB=∠QDB，
∵在△CQB和△DNB中

CQ=DN ∠QCB=∠BDN CB=DB

，
∴△CQB≌△DNB，
∴BN=BQ，
∵BH⊥DQ，
∴QH=HN，
∴CQ=DN=DH-HN=DH-HQ，
即線段CQ、QH、DH的數量關系是CQ=DH-HQ；

（3）解：FT-FR的值不變化，永遠等于2，
理由是：連接BF、BT、BR，
∵OM=1，OD=OC=

3

，
根據勾股定理得：DM=2，
即OM=

1

2

DM，
∴∠ODM=30°，
∴∠OMD=90°-30°=60°，
∴∠OMD=60°=∠FMB，
∵MF=MB，
∴△FMB是等邊三角形，
∴BF=BM，∠FBM=60°，
∵DF為直徑，
∴∠FCD=90°=∠COM，
∴CF∥AB，
∴∠TFB=∠FBM=60°=∠FMB，
∵弧BF對的圓周角是∠R和∠T，
∴∠R=∠T，
∵在△RBM和△TBF中

∠R=∠T ∠TFB=∠RMB BM=BF

，
∴△RBM≌△TBF，
∴FT=MR，
∴FT-FR=MR-FR=MF，
∵C（0，

3

），m（1，0），
∴MF=MC=

12+( 3 )2

=2
∴FT-FR=2，
即FT-FR的值不變化，恒等于2．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，勾股定理，銳角三角函數的定義，等邊三角形的性質和判定，圓周角定理，垂徑定理等知識點的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．