Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，點D為上的動點，且cos∠ABC＝．

（1）求AB的長度；

（2）在點D的運動過程中，弦AD的延長線交BC延長線于點E，問ADAE的值是否變化？若不變，請求出ADAE的值；若變化，請說明理由；

（3）在點D的運動過程中，過A點作AH⊥BD，求證：BH＝CD+DH．

Answer 1

【答案】（1）AB＝；（2）不變，ADAE＝10；（3）見解析

【解析】

（1）作AM垂直于BC，由AB＝AC，利用三線合一得到BM等于BC的一半，再由cos∠ABC的值，利用銳角三角函數定義求出AB的長即可；

（2）連接DC，由等邊對等角得到∠ACB＝∠ABC，結合圓內接四邊形的性質得到∠ADC＝∠ACE，然后證明△EAC∽△CAD，由相似得比例求出所求即可；

（3）在BD上取一點N，使得BN＝CD，利用SAS得到△ABN≌△ACD，由全等三角形對應邊相等和等腰三角形的性質求出NH＝HD即可得出結論．

解：（1）作AM⊥BC，

∵AB＝AC，AM⊥BC，

∴BM＝BC＝1，

∵cos∠ABC＝，

∴AB＝；

（2）連接DC，

由（1）知AB＝AC＝，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵四邊形ABCD內接于圓O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∵∠ACE+∠ACB＝180°，

∴∠ADC＝∠ACE，

∵∠CAE＝∠DAC，

∴△EAC∽△CAD，

∴，

∴ADAE＝AC2＝10；

（3）在BD上取一點N，使得BN＝CD，

在△ABN和△ACD中，，

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN＝AD，

∵AH⊥BD，

∴NH＝HD，

∵BN＝CD，NH＝HD，

∴BN+NH＝CD+HD，

即BH＝CD+DH．