Question

如圖是泰州某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點與水面的距離都是1m，拱橋的跨度為10m，橋洞與水面的最大距離是5m，橋洞兩側壁上各有一盞距離水面4m的景觀燈．若把拱橋的截面圖放在平面直角坐標系中（如圖）．

（1）求拋物線的解析式；（2）求兩盞景觀燈之間的水平距離．

Answer 1

分析：（1）由圖形可知這是一條拋物線，根據圖形也可以知道拋物線的頂點坐標為（5，5），與y軸交點坐標是（0，1），設出拋物線的解析式將兩點代入可得拋物線方程；
（2）第二題中要求燈的距離，只需要把縱坐標為4代入，求出x，然后兩者相減，就是他們的距離．

解答：解：（1）拋物線的頂點坐標為（5，5），與y軸交點坐標是（0，1）（2分）
設拋物線的解析式是y=a（x-5）²+5（3分）
把（0，1）代入y=a（x-5）²+5
得a=-

4

25

（5分）
∴y=-

4

25

（x-5）²+5（0≤x≤10）；（6分）

（2）由已知得兩景觀燈的縱坐標都是4（7分）
∴4=-

4

25

（x-5）²+5
∴

4

25

（x-5）²=1
∴x₁=

15

2

，x₂=

5

2

（9分）
∴兩景觀燈間的距離為

15

2

-

5

2

=5米．（10分）

點評：此題考查對拋物線等二次函數的應用，從圖中可以看出的坐標是解題的關鍵．