Question

如圖，AB=AC=10cm，BC=12cm，BF∥AC，點P、Q均以1cm/s的速度同時分別從C、A出發沿CA，AB的方向運動（當P到達A點時，點P、Q均停止運動），過點P作PE∥BC，分別交AB、BF于點G、E，設運動時間為ts．
（1）直接判斷并填寫：
經過t秒，線段AP=______cm（用含t的代數式表示），線段QE______QP（用“＞、＜、=、≥、≤”符號表示）；
（2）四邊形EBPA的面積會變化嗎？請說明理由：
（3）①當0＜t＜5時，求出四邊形EBPA的面積S與t的函數關系式；
②試探究：當t為何值時，四邊形EBPQ是梯形．

Answer 1

解：（1）PA的長度為：10-t，
QE=PQ．

（2）四邊形EBPA的面積不會變化．
∵BF∥AC，
∴BF與AC的距離處處相等．
設EF與AC的距離為h，
又∵PE∥BC，
∴四邊形EBCP是平行四邊形．
∴EB=PC=t，AP=10-t，
∴S_{四邊形EBPA}=（EB+AP）h=（t+10-t）•h=5h；

（3）①AQ=t，則BQ=10-t，
又∵AP=10-t，EB=t，
∴EB=AQ，BQ=AP，
又∵BF∥AC，
∴∠EBA=∠QAP，
∴△EBQ≌△QAP，
在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，作AH⊥BC于H，
則CH=BC=×12=6，
AH===8，
作BM⊥AC于點M，
∵S_△ABC=•BC•AH=•AC•BM，
∴12×8=10•BM
BM=，
∴S_△ABP=（10-t）×，
即S=48-t．

②∵BF∥AC，∴BE不平行于PQ，
∴當EQ∥BP時，四邊形EBPQ是梯形．
∴∠GEQ=∠GPB，∠EQB=∠GBP，
∴△EGQ∽△PGB，
∴，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
又∵PG∥BC，且PG≠BC，
∴四邊形GBCP是等腰梯形，
∴GB=PC=t，
∴GQ=10-2t，
同理可證△AGP∽△EGB，
∴=∴，
∴=，
化簡得：t²-30t+100=0，
解得：t₁=15+5（舍去），t₂=15-5，
當t=15-5是，四邊形EBPQ是梯形．
分析：（1）因為AC=10cm，點P以以1cm/s的速度從A出發，從而可得出代數式，線段QE和QP相等．
（2）四邊形EBPA的面積不會變化，可求出四邊形的面積．
（3）根據三角形全等和勾股定理，以及三角形的面積表示出四邊形的面積求出解以及根據梯形的概念判斷出梯形．
點評：本題考查平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，梯形的概念等知識點．