Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，點E是邊CD的中點，點P，Q分別是射線DC與射線EB上的動點，連結PQ，AP，BP，設DP＝t，EQ＝t．

（1）當點P在線段DE上（不包括端點）時．

①求證：AP＝PQ；②當AP平分∠DPB時，求△PBQ的面積．

（2）在點P，Q的運動過程中，是否存在這樣的t，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②S△PBQ＝18﹣9；（2）存在，滿足條件的t的值為6﹣3或3或6+3．

【解析】

（1）①如圖1中，過點Q作QF⊥CD于點F，證明Rt△ADP≌Rt△PFQ即可．

②如圖，過點A作PB的垂線，垂足為H，過點Q作PB的垂線，垂足為G．由Rt△ADP≌Rt△AHP，推出PH＝PD＝t，AH＝AD＝3．由Rt△AHP△Rt△PGQ，推出QG＝PH＝DP＝t，在Rt△AHB中，則有32+（6﹣t）2＝62，求出t即可解決問題．

（2）分三種情形：①如圖3﹣1中，若點P在線段DE上，當PQ＝QB時．②如圖3﹣2中，若點P在線段EC上（如圖），當PB＝BQ時．③如圖3﹣3中，若點P在線段DC延長線上，QP＝QB時，分別求解即可．

（1）①證明：如圖1中，過點Q作QF⊥CD于點F，

∵點E是DC的中點，

∴CE＝DE＝3＝CB，

又∵∠C＝90°，

∴∠CEB＝∠CBE＝45°，

∵EQ＝t，DP＝t，

∴EF＝FQ＝t．

∴FQ＝DP，

∴PF＝PE+EF＝PE+DP＝DE＝3

∴PF＝AD，

∴Rt△ADP≌Rt△PFQ，

∴AP＝PQ．

②如圖，過點A作PB的垂線，垂足為H，過點Q作PB的垂線，垂足為G．

由AP平分∠DPB，得∠APD＝∠APB，易證Rt△ADP≌Rt△AHP，

∴PH＝PD＝t，AH＝AD＝3．

又∠APD＝∠PAB，∴∠PAB＝∠APB，

∴PB＝AB＝8，

易證Rt△AHP△Rt△PGQ，

∴QG＝PH＝DP＝t，

在Rt△AHB中，則有32+（6﹣t）2＝62，

解得t＝6﹣3，

∴S△PBQ＝PBQG＝×6×（6﹣3）＝18﹣9．

（3）①如圖3﹣1中，若點P在線段DE上，當PQ＝QB時，

∴AP＝PQ＝QB＝BE﹣EQ＝3﹣t，

在Rt△APD中，由DP2+AD2＝AP2，得t2+9＝2（3﹣t）2，

解得t＝6﹣3或6+3（舍去）

②如圖3﹣2中，若點P在線段EC上（如圖），當PB＝BQ時，

∴PB＝BQ＝t﹣3，

則在Rt△BCP中，由BP2＝CP2+BC2，得2（t﹣3）2＝（6﹣t）2+9，

解得：t＝3或 （舍去）

③如圖3﹣3中，若點P在線段DC延長線上，QP＝QB時，

∴AP＝PQ＝BQ＝t﹣3，

在Rt△APD中，由DP2+AD2＝AP2，

得t2+9＝2（t﹣3）2，解得（舍去）或

綜上所述，滿足條件的t的值為6﹣3或3或6+3．