Question

我們知道：將一條線段AB分割成大小兩條線段AC、CB，若小線段CB與大線段AC的長度之比等于大線段AC與線段AB的長度之比，即這種分割稱為黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．

(1)類似地我們可以定義，頂角為36°的等腰三角形叫黃金三角形，其底與腰之比為黃金數，底角平分線與腰的交點為腰的黃金分割點．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分線CD交腰AB于點D，請你說明D為腰AB的黃金分割點的理由．

(2)若腰和上底相等，對角線和下底相等的等腰梯形叫作黃金梯形，其對角線的交點為對角線的黃金分割點．如圖，AD∥BC，AB＝AD＝DC，AC＝BD＝BC，試說明O為AC的黃金分割點．

(3)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為斜邊AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的對邊分別為a、b、c．若D是AB的黃金分割點，那么a、b、c之間的數量關系是什么？并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：在△ABC中，∵∠A＝36°，AB＝AC 　　∴∠ACB＝(180°－∠A)＝72° 　　∵CD為∠ACB的角平分線，∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠DCB． 　　又∵∠ABC＝∠CBD 　　∴△ABC∽△CBD 　　∴． 　　∵∠ABC＝∠ACB＝72° 　　∴∠BDC＝∠ABC＝72°∴BC＝CD同理可證，AD＝CD 　　∴BC＝DC＝AD，∴ 　　∴D為腰AB的黃金分割點． 　　(2)證明：在△ABC和△DCB中，∵AB＝DC，AD∥BC，∴∠ABC＝∠DCB．又∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB． 　　∴∠ACB＝∠DBC＝α 　　∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA＝α 　　∵AB＝AD∴∠ABD＝∠BDA＝α 　　∴∠ABC＝2α．∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB＝2α 　　在△ABC中，∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180° 　　∴5α＝180°∴α＝36°在等腰△ABC中 　　∵BO為∠ABC的角平分線，∠ACB＝α＝36°∴O為腰AC的黃金分割點， 　　即 　　(3)a、b、c之間的數量關系是b2＝ac． 　　∵∠ACB＝90°，CD⊥AB 　　∴∠ACB＝∠ADC＝90° 　　∵∠A＝∠A∴△ACB∽△ADC∴即AC2＝AD·AB 　　∴b2＝AD·c同理可證，a2＝BD·c∴AD＝ 　　①BD＝ 　　②又∵D為AB的黃金分割點，∴AD2＝BD·c 　　③把①、②代入③得b4＝a2c2∵a、c均為正數，∴b2＝ac　∴a、b、c之間的數量關系為b2＝ac．