Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=18cm，BC=6cm，點P沿AB、BC邊從點A→B→C方向以3cm/秒的速度移動，點Q沿DA、AB邊從點D→A→B方向以1cm/秒的速度移動，如果P、Q同時出發，用t（秒）表示運動時間．
（1）若t=1時，求△APQ的面積；
（2）當P在AB邊上移動時，在△APQ中，若滿足∠PQA＞45°，求t的范圍；
（3）若0≤t≤8，線段PQ和矩形兩邊所構成的三角形與△ABC何時能相似？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據t=1表示出DQ和AP的長，利用三角形的面積計算方法求得三角形的面積即可；
（2）表示出QA和AP，根據∠PAQ=45°，得到QA＜AP，從而得到有關t的方程，求解即可；
（3）根據△PAQ與△ABC相似，分①

PA

QA

=

AB

CB

、②

QA

PA

=

AB

CB

和③

AQ

CP

=

AB

CB

三種情況求得t值即可．

解答：解：（1）當t=1秒時，DQ=t=1cm，AP=3t=3
∴S△APQ=

1

2

AQ×AP=

1

2

（6-1）×3=

15

2

（2）由已知，點Q、P同時出發，且分別到達A、B兩點的時間均為6秒，
∵QA=6-t，AP=3t，
∴當點P在AB上移動時，Q在DA上移動，
要滿足∠PAQ=45°，必有：QA＜AP
即6-t＜3t
解之，t＜1.5
∴1.5＜t＜6；

（3）當0＜t＜6時，點P、Q分別在BC和AB上，要使△PAQ與△ABC相似，
必①

PA

QA

=

AB

CB

，即

3t

6-t

=

18

6

，解之t=3秒
②

QA

PA

=

AB

CB

，即

6-t

3t

=

18

6

，解之t=0.6秒
當6＜t＜8時，點P、Q分別在BC和AB上，要使△PBQ與△ABC相似，
必

AQ

CP

=

AB

CB

，即

t-6

24-3t

=

18

6

，解之t=7.8秒，
綜上所述，當≤t≤8時，且點P，Q同時移動時t=3或0.6或7.8秒．

點評：本題考查了相似三角形的綜合應用，特別是本題中涉及到的動點問題和分類討論問題，更是近幾年中考的熱點和難度考題，應加強訓練．