Question

已知：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）當∠A=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，從而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；
由已知可證明它是矩形，因為有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正方形．
解答：（1）證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
又∵BD=CD，BF=CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B=∠C．
故△ABC是等腰三角形；（3分）

（2）解：四邊形AFDE是正方形．
證明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四邊形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF=DE，
∴四邊形AFDE是正方形．（8分）
點評：此題主要考查學生對等腰三角形的判定及正方形的判定方法的掌握情況．