Question

在學習扇形的面積公式，同學們得到扇形的面積公式S扇=

n

360

•πR2=

1

2

C1R，扇形有人也叫它“曲邊三角形”，其面積公式S扇=

1

2

C1R類似于三角形的面積公式，把弧長C₁看作底，把半徑R看作高就行了．當學了扇形的面積公式后，小明同學遇到這樣一個問題：“某小區設計的花壇如下圖中的陰影部分（扇環），它是一個大扇形去掉一個小扇形得到的，弧AB的長為C₁弧CD的長為C₂，AC=BD=d求花壇的面積．”受“曲邊三角形”面積公式的啟發，小明猜測扇環的面積應該類似梯形面積公式，他猜想花壇ABCD的面積，他的猜想對嗎？如果正確，寫出推導過程；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：先利用扇形的面積公式和弧長公式分別把扇形AOB和扇形COD的面積和弧長表示出來，扇環的面積=扇形AOB的面積-扇形COD的面積，通過公式變形和線段的和差關系得到扇環面積與扇形的弧長和半徑差之間的關系：S=

1

2

（C₁+C₂）d．

解答：解：小明的猜想正確．
理由如下：
設∠AOB=∠COD=n°
扇形AOB的面積S1=

nπ•OA2

360

，
扇形COD的面積S2=

nπ•OC2

360

，
扇形AOB的弧長C1=

nπ•OA

180

，
扇形COD的弧長C2=

nπ•OC

180

．
所以扇環的面積S=S1-S2=

nπ•OA2

360

-

nπ•OC2

360

=

nπ

360

（OA²-OC²）
=

nπ

360

（OA-OC）（OA+OC）
=

nπ

360

•(OA+OC)•d
=

1

2

(

nπ

180

•OA+

nπ

180

•OC)•d
=

1

2

(C1+C2)•d
因此，小明的猜想對．

點評：解決本題首先要牢記扇形的面積公式和弧長公式以及扇形的面積與弧長之間的等量關系．面積公式：S=

nπr2

360

；弧長公式：C=

nπr

180

；扇形的面積與弧長之間的等量關系：S=

1

2

C•r．