Question

已知：如圖，直線y=-x+4與x軸相交于點A，與直線y=x相交于點P．
（1）求點P的坐標；
（2）請判斷△OPA的形狀并說明理由；
（3）動點E從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿著O、P、A的路線向點A勻速運動（E不與點O，A重合），過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．
求：①S與t之間的函數關系式．②當t為何值時，S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩直線相交可列出方程組，求出P點坐標；
（2）將y=0代入y=-x+4，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，利用tan∠POA=，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等邊三角形；
（3）①當0＜t≤4時，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，則EF=，OF=，則S=•OF•EF=t²；
②當4＜t＜8時，如圖，設EB與OP相交于點C，易知：CE=PE=t-4，AE=8-t，可得AF=4-，EF=（8-t），有OF=OA-AF=4-（4-）=，S=（CE+OF）•EF=-t²+4t-8．
解答：解：（1）由題意可得：，
解得，
所以點P的坐標為（2，2）；

（2）將y=0代入y=-x+4，-x+4=0，
∴x=4，即OA=4，
作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，
∵tan∠POA==，
∴∠POA=60°，
∵OP==4，
∴△POA是等邊三角形；

（3）①當0＜t≤4時，如圖，在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t，
∴EF=，OF=，
∴S=•OF•EF=t²．
當4＜t＜8時，如圖，設EB與OP相交于點C，
∵CE=PE=t-4，AE=8-t，
∴AF=4-，EF=（8-t），
∴OF=OA-AF=4-（4-）=，
∴S=（CE+OF）•EF=（t-4+t）×（8-t），
=-t²+4t-8；
②當0＜t≤4時，S=，t=4時，S_最大=2；
當4＜t＜8時，S=-t²+4t-8=-（t-）²+，
t=時，S_最大=．
∵＞2，
∴當t=時，S最大，最大值為．
點評：把動點問題與三角形的性質相結合，增加了難度，在解答時要注意t在三個取值范圍內的情況，不要漏解．