Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別是D、E、F．

（1）連接OA、OB，則∠AOB＝　 ．

（2）若BD＝6，AD＝4，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）r＝2

【解析】

（1）根據三角形的內心的性質即可解答.

（2）連接，根據圓的切線的性質和角平分線的性質，加之為直角證明四邊形為正方形，設，用表示出的三邊，運用勾股定理列方程解答即可.

解：（1）

∵⊙O是△ABC的內切圓，

∴O為△ACB的內心，

∴∠OBA＝∠ABC，∠OAB＝∠CAB，

∵∠C＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°，

∴∠OBA+∠OAB＝×90°＝45°，

∴∠AOB＝180°﹣∠45°＝135°，

故答案為：135°；

（2）連接EO，FO，

∵⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F，

∴OE⊥BC，OF⊥AC，BD＝BE，AD＝AF，EC＝CF，

又∵∠C＝90°，

∴四邊形ECFO是矩形，

又∵EO＝FO，

∴矩形OECF是正方形，

設EO＝x，

則EC＝CF＝x，

在Rt△ABC中

BC2+AC2＝AB2

故（x+6）2+（x+4）2＝102，

解得：x＝2，

即⊙O的半徑r＝2．