Question

如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=（m≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標為（n，6），點C的坐標為（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求點B的坐標；
（3）在x軸上求點E，使△ACE為直角三角形．（直接寫出點E的坐標）

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AD⊥x軸于D，根據A、C的坐標求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把點的坐標代入解析式即可求得反比例函數和一次函數解析式；
（2）求出反比例函數和一次函數的另外一個交點即可；
（3）分兩種情況：①AE⊥x軸，②EA⊥AC，分別寫出E的坐標即可．
解答：解：（1）過點A作AD⊥x軸于D，
∵C的坐標為（-2，0），A的坐標為（n，6），
∴AD=6，CD=n+2，
∵tan∠ACO=2，
∴==2，
解得：n=1，
故A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函數表達式為：y=，
又∵點A、C在直線y=kx+b上，
∴，
解得：，
∴一次函數的表達式為：y=2x+4；

（2）由得：=2x+4，
解得：x=1或x=-3，
∵A（1，6），
∴B（-3，-2）；

（3）分兩種情況：①當AE⊥x軸時，
即點E與點D重合，
此時E₁（1，0）；
②當EA⊥AC時，
此時△ADE∽△CDA，
則=，
DE==12，
又∵D的坐標為（1，0），
∴E₂（13，0）．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題，涉及了點的坐標的求法以及待定系數法求函數解析式的知識，主要考查學生的計算能力和觀察圖形的能力．