Question

如圖10-1，在平面直角坐標系中，點在軸的正半軸上， ⊙交軸于 兩點，交軸于兩點，且為的中點，交軸于點，若點的坐標為（－2，0），

(1)(3分)求點的坐標.                          
(2)(3分)連結，求證：∥
(3)(４分) 如圖10-2，過點作⊙的切線，交軸于點.動點在⊙的圓周上運動時，的比值是否發生變化，若不變，求出比值；若變化，說明變化規律

Answer 1

（1）（０，４）
（2）證明略
（3）解析:
解（１）方法（一）∵直徑ＡＢ⊥ＣＤ
　　　　　　　　∴ＣＯ＝ＣＤ                               　　……1分
＝
　　　　　　　　∵Ｃ為的中點
　　　　　　　　∴＝
　　　　　　　　∴＝
　　　　　　　　∴ＣＤ＝ＡＥ                              　　　　……2分
　　　　　　　　∴ＣＯ＝ＣＤ＝４
　　　　　　　　∴Ｃ點的坐標為（０，４）                   　　　……3分
　　　　　　方法（二）連接ＣＭ，交ＡＥ于點Ｎ
　　　　　　　　∵Ｃ為的中點，Ｍ為圓心
　　　　　　　　∴ＡＮ＝ＡＥ＝４                      ……1分
　　　　　　　　　ＣＭ⊥ＡＥ
　　　　　　　　∴∠ＡＮＭ＝∠ＣＯＭ＝９０°
　　　　　　　　在△ＡＮＭ和△ＣＯＭ中：

∴△ＡＮＭ≌△ＣＯＭ                     ……2分
∴ＣＯ＝ＡＮ＝４
∴Ｃ點的坐標為（０，４）                 ……3分
　　　解（２）設半徑ＡＭ＝ＣＭ＝ｒ，則ＯＭ＝ｒ－２
　　　　　　　　由ＯＣ＋ＯＭ＝ＭＣ得：
　　　　　　　　４＋（ｒ－２）＝ｒ
　　　　　　　　解得：ｒ＝５                            ……1分
　　　　　　　　∵∠ＡＯＣ＝∠ＡＮＭ＝９０°
　　　　　　　　　∠ＥＡＭ＝∠ＭＡＥ
　　　　　　　　∴△ＡＯＧ∽△ＡＮＭ
　　　　　　　　∴
∵ＭＮ＝ＯＭ＝３
　　　　　　　　即
　　　　　　　　∴ＯＧ＝　　　　　　　　　　　　　　……２分
　　　　　　　　∵
　　　　　　　　　
　　　　　　　　∴
　　　　　　　　∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＣ
　　　　　　　　∴△ＧＯＭ∽△ＣＯＢ
　　　　　　　　∴∠ＧＭＯ＝∠ＣＢＯ
　　　　　　　　∴ＭＧ∥ＢＣ　　　　　　　　　　　　　……3分
　　　　　　　　（說明：直接用平行線分線段成比例定理的逆定理不扣分）
解（３）連結ＤＭ，則ＤＭ⊥ＰＤ，ＤＯ⊥ＰＭ
　　　　　　　　∴△ＭＯＤ∽△ＭＤＰ，△ＭＯＤ∽△ＤＯＰ
　　　　　　　　∴ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ；
　　　　　　　　　ＤＯ＝ＯＭ·ＯＰ（說明：直接使用射影定理不扣分）
　　　　　　　　即４＝３·ＯＰ
　　　　　　　　∴ＯＰ＝　　　　　　　　　　　             ……１分
　　　　　　　　當點Ｆ與點Ａ重合時：
　　　　　　　　當點Ｆ與點Ｂ重合時：　　　……２分
　　　　　　　　當點Ｆ不與點Ａ、Ｂ重合時：連接ＯＦ、ＰＦ、ＭＦ
　　　　　　　　∵ＤＭ＝ＭＯ·ＭＰ
　　　　　　　　∴ＦＭ＝ＭＯ·ＭＰ
　　　　　　　　∴
　　　　　　　　∵∠ＡＭＦ＝∠ＦＭＡ
　　　　　　　　∴△ＭＦＯ∽△ＭＰＦ
　　　　　　　　∴　　　　　　　　
　　　　　　　　∴綜上所述，的比值不變，比值為                  ……4分