Question

【題目】如圖，已知∠AOM=60°，在射線OM上有點B，使得AB與OB的長度都是整數，由此稱B是“和諧點”，若OA=8，當B為“和諧點”時，AB和OB的長分別為_____________.

Answer 1

【答案】或或或．（AB=x,OB=y)

【解析】試題解析：過點B作BC⊥OA，交OA于點C，連接AB，可能有兩種情況，垂足在OA上或者垂足在OA延長線上．

設OB=y，AB=x，

∵∠AOM=60°，

∴OC=OBcos60°=y，

∴AC=OA-OC=8-y或AC=OC-OA=y -8，

∵BC2=OB2-OC2，BC2=AB2-AC2，

∴y2-（y）2=x2-（8-y）2或x2-（y -8）2=y2-（y）2，

∴x2-（y-4）2=48，

∵x與y是正整數，且y必為正整數，x-4為大于等于-4的整數，

將原方程轉為 X2-Y2=48，先求（X+Y）（X-Y）=48的正整數解，

∵（X+Y）和（X-Y）同奇同偶，

∴（X+Y）和（X-Y）同為偶數；

∴X2-Y2=48可能有幾組正整數解：

， ， ，

解得： ， ， ，

∴x的可能值有3個：x=7，x=8或x=13，

當x=7時，y-4=±1，y=3或y=5；

當x=8時，y-4=±4，y=8或y=0（舍去）；

當x=13時，y-4=±11，y=15或y=-7（舍去）；

∴共有4組解： 或或或．