Question

（2013•香坊區一模）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線y=

3

4

x+3m交x軸于點A，交y軸于點B，線段BC為△ABC中∠ABO的角平分線，OC=3．
（1）求m的值；
（2）點A關于點O的對稱點為D．過點D作x軸的垂線DE，動點P從D出發，以每秒一個單位的速度沿DE方向運動，過P作x軸的平行線分別交線段AB、BC于點M、N，設MN的長度為y（y≠0），P點的運動時間為t，當0＜t＜3時，求y與t之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，當以P為圓心，y為半徑的⊙P上有且只有一點到直線AB的距離為

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3

時，求此時t的值．

Answer 1

分析：（1）由直線的解析式可求出A，B兩點的坐標，利用勾股定理可求出AB的長，過點C作CH⊥AB于H，再證明△OBC≌△HBC（AAS），由全等的性質可得：BO=BH=3m，OC=CH=3，在Rt△AHC中，CH²+AH²=AC²，進而求出m的值；
（2）由（1）得A（8，0），B（0，6），所以可求出直線AB的解析式，設直線BC的解析式為y=kx+b，利用已知條件可求出直線BC的解析式，進而求出D和P點的坐標
把y=t分別代入直線AB、BC的解析式，求出M，N的坐標C從而求出y與t之間的函數關系式；
（3）在⊙P上任取一點，過該點作AB的平行線若此直線與圓相交，則在圓上有兩點到直線AB的距離為

14

3

；若此直線與圓相切，則⊙P上有且只有一點到直線AB的距離為

14

3

，作FG∥AB，與⊙P切于點為I，連接PI并延長交直線AB于點K，DP與直線AB交于點Q，在Rt△QPK中，PQ=12-t，tan∠PQA=tan∠ABO=

4

3

，可建立求出t的值．

解答：解：（1）∵直線y=

3

4

x+3m交x軸于點A，交y軸于點B，
∴A（4m，0），B（0，3m），
∴AB=

OA2+OB2

=5m，
過點C作CH⊥AB于H，
∴∠BOC=∠BHC=90°，
∵線段BC為△ABC中∠ABO的角平分線，
∴∠1=∠2，
在△OBC和△HBC中，

∠1=∠2 ∠BOC=∠BHC BC=BC

，
∴△OBC≌△HBC（AAS），
∴BO=BH=3m，OC=CH=3，
在Rt△AHC中，CH²+AH²=AC²，
∴3²+（2m）²=（4m-3）²，
解得：m=2；

（2）由（1）得A（8，0），B（0，6），
∴直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
∴

3k+b=0 b=6

，
∴解得：

k=-2 b=6

，
∴直線BC的解析式為：y=-2x+6，
∵D（-8，0），
∴P（-8，t），
∴把y=t分別代入直線AB、BC的解析式，
∴M（8-

4

3

t，t），N（3-

1

2

t，t），
∴y_MN=-

5

6

t+5，

（3）在⊙P上任取一點，過該點作AB的平行線，若此直線與圓相交，則在圓上有兩點到直線AB的距離為

14

3

；
若此直線與圓相切，則⊙P上有且只有一點到直線AB的距離為

14

3

，
作FG∥AB，與⊙P切于點為I，連接PI并延長交直線AB于點K，DP與直線AB交于點Q，
∴∠QKP=90°，
把x=-8代入直線AB解析式y=-

3

4

x+6，
得：Q（-8，12），
∴DQ=12，
在Rt△QPK中，PQ=12-t，tan∠PQA=tan∠ABO=

4

3

，
∴PK=

4(12-t)

5

，
∵PK-PI=IK，
∴

4(12-t)

5

-（-

5

6

t+5）=

14

3

，
解得：t=2，
當t=3時，PK=

36

5

＞

14

3

，
∴t有唯一解．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理的運用，用待定系數法求一次函數的解析式以及圓的切線的性質和銳角三角函數的定義，題目的綜合性強，難度大，對學生的綜合解題能力要求很高．