Question

已知：m、n是方程x²-6x+5=0的兩個實數(shù)根，且m＜n，拋物線y=-x²+bx+c的圖象經過點A（m，0）、B（0，n）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標．

Answer 1

（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以點A、B的坐標分別為A（1，0），B（0，5）．
將A（1，0），B（0，5）的坐標分別代入y=-x²+bx+c．
得

-1+b+c=0 c=5

解這個方程組，得

b=-4 c=5

所以，拋物線的解析式為y=-x²-4x+5

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0
解這個方程，得x₁=-5，x₂=1
所以C點的坐標為（-5，0）．由頂點坐標公式計算，得點D（-2，9）．
過D作x軸的垂線交x軸于M．
則S_△DMC=

1

2

×9×（5-2）=

27

2

S_梯形MDBO=

1

2

×2×（9+5）=14，
S_△BOC=

1

2

×5×5=

25

2

所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC-S_△BOC=14+

27

2

-

25

2

=15．
答：點C、D的坐標和△BCD的面積分別是：（-5，0）、（-2，9）、15；
（3）設P點的坐標為（a，0）
因為線段BC過B、C兩點，
所以BC所在的直線方程為y=x+5．
那么，PH與直線BC的交點坐標為E（a，a+5），
PH與拋物線y=-x²-4x+5的交點坐標為H（a，-a²-4a+5）．
由題意，得①EH=

3

2

EP，
即（-a²-4a+5）-（a+5）=

3

2

（a+5）
解這個方程，得a=-

3

2

或a=-5（舍去）
②EH=

2

3

EP，即（-a²-4a+5）-（a+5）=

2

3

（a+5）
解這個方程，得a=-

2

3

或a=-5（舍去），
P點的坐標為（-

3

2

，0）或（-

2

3

，0）．