Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA＝OD＝2，OC＝OE＝4，B為線段OA的中點，直線AD與經過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交于M，點P為線段FG上一個動點（點P與F、G不重合），作PQ∥y軸與拋物線交于點Q．
（1）若經過B、E、C三點的拋物線的解析式為y＝－x²＋（2b－1）x＋c－5，則b＝         ，c＝         （直接填空）
（2）①以P、D、E為頂點的三角形是直角三角形，則點P的坐標為         （直接填空）
②若拋物線頂點為N，又PE＋PN的值最小時，求相應點P的坐標.
（3）連結QN，探究四邊形PMNQ的形狀：
①能否成為平行四邊形
②能否成為等腰梯形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）b＝2，c＝9；（2）①P（2，4）或（1，3）；②P；（3）①若四邊形PMNQ為平行四邊形時，點P坐標為，②若四邊形PMNQ為等腰梯形時，點P坐標 為.

試題分析：（1）根據拋物線與x軸的交點坐標易求對稱軸，利用對稱軸公式來求b的值；根據點E的坐標來求c的值.
（2）①分兩種情況：∠EDP=90°和EPD=90°.
②以直線AD為對稱軸，作點N的對稱點N′，連接EN′，EN′與直線AD的交點即為所求的點P.
（3）設點P為（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2，根據PQNM是平行四邊形，則PQ=MN，即可求得PM的長，判斷是否成立，從而確定；根據①的解法即可確定P的坐標．
（1）如圖1，∵OA=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點，
∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）．
∴拋物線對稱軸為.
又 過B、E、C三點的拋物線的解析式為y=-x²+（2b-1）x+c-5，
∴，c-5=4，解得 b=2，c=9.
（2）①設直線AD的解析式為：y=kx+2（k≠0）．
∵A（-2，0），∴0=-2k+2，解得 k=1.
∴直線AD的解析式為：y=x+2．
如圖1，過點E作EP∥x軸交直線AD與點P，則∠PED=90°．
∴把y=4代入y=x+2，得x=2，則P（2，4）．∴ED=EP．
過點E作EP′⊥直線AD于點P′，則∠EP′D=90°．
∴點P′是線段DP的中點．∴P′（1，3）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標為：（2，4）或（1，3）．
②如圖2，作點N關于直線AD的對稱點N′，連接EN′，EN′與直線AD的交點即為所求的點P．
所以 P.
（3）點M坐標是，點N坐標是，∴MN=.
①設點P為（x，x+2），Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2.
如圖3，能成為平行四邊形，若P′Q′NM是平行四邊形形，則P′Q′=MN，可得x₁=，x₂=，
當x₂=時，點P′與點M重合；
當x₁=時，點P的坐標是.
②如圖3，能成為等腰梯形，作QH⊥MN于點H，作PJ⊥MN于點J，則NH=MJ，
則，解得：x=.
此時點P的坐標是．