Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，M點在邊AC上，且CM=2，過M點作AC的垂線交AB邊于E點，動點P從點A出發沿AC邊向M點運動，速度為1個單位/秒，當動點P到達M點時，運動停止.連接EP、EC，設運動時間為t．在此過程中:

（1）當t=1時，求EP的長度；

（2）當t為何值時，△EPC是等腰三角形？

（3）如圖2，若點N是線段ME上一點，且MN=3，點Q是線段AE上一動點，連接PQ、PN、NQ得到△PQN，請直接寫出△PQN周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當t=1或2或（6-2）時，△PEC是等腰三角形；（3）△PQN周長的最小值是．

【解析】

（1）根據平行線的性質列出比例式，求出EP；

（2）分EP=EC、PC=PE、CP=CE三種情況，根據等腰三角形的概念、勾股定理計算即可；

（3）作點N關于AC的對稱點N′，關于AB的對稱點N′′，連接N′N′′交AC于P，交AB于Q，連接N′′E，根據勾股定理求出N′N′′，得到答案．

解：（1）∵∠ACB=90°，EM⊥AC，

∴EM∥BC，

∴，

∴ME=4，

當t=1秒時，AP=1，

則PM=3，

∴EP=；

（2）當EP=EC時，PM=MC，

∴4-t=2，

解得，t=2，

當PC=PE時，（4-t）2+42=（6-t）2，

解得，t=1，

當CP=CE時，22+42=（6-t）2，

解得，t1=6+（舍去），t2=6-，

當t=1或2或（6-2）時，△PEC是等腰三角形；

（3）作點N關于AC的對稱點N′，關于AB的對稱點N′′，連接N′N′′交AC于P，交AB于Q，連接N′′E，則△PQN即為周長最小的三角形；

由題意得，N′E=7，N′′E=NE=1，

∵ME∥BC，

∴∠AEN=∠B=45°，

∴∠N′′EN=90°，

∴N′N′′=，

則△PQN周長的最小值是．