Question

Rt△ABC在直角坐標系內的位置如圖1所示，反比例函數在第一象限內的圖象與BC邊交于點D（4，m），與直線AB：y=x+b交于點E（2，n）．
（1）m=______，點B的縱坐標為______；（用含n的代數式表示）；
（2）若△BDE的面積為2，設直線AB與y軸交于點F，問：在射線FD上，是否存在異于點D的點P，使得以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，現有一動點M，從O點出發，沿x軸的正方向，以每秒2個單位的速度運動，設運動時間為t（s），問：是否存在這樣的t，使得在直線AB上，有且只有一點N，滿足∠MNC=45°？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點E（2，n）和點D（4，m）在反比例函數的圖象上，得出k=2n，k=4m，即可求出m的值；
根據點E（2，n）在直線y=x+b上，得出點E的坐標是（2，1+b），b=n-1，再根據點B的橫坐標是4，點B在直線y=x+b上，得出點B的坐標是（4，2+b），縱坐標是2+n-1，再進行整理即可；
（2）根據（1）中E（2，n），D（4，n），B（4，n+1）和S_△BDE=2，求出n的值，再根據直線AB的解析式，求出點A、B、D、C和F的坐標，從而得出FD∥AC，最后根據射線FD上，異于點D的點P，使得以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，只可能為△BFP∽△CAB，得出=，求出FP的值，得出點P的坐標．
（3）以MC為斜邊，作等腰直角△QMC，則以Q為圓心、QM為半徑的⊙Q，與直線AB的公共點N恰好符合∠MNC=45°，則⊙Q恰好與AB相切，得出點Q到AB的距離d=QM=MC，再分兩種情況討論①當點M在C點左側時，S_△QAB+S_△QAC+S_△QBC=S_△ABC，②當M在C點右側時，S_△QAB+S_△QAC--S_△QBC=S_△ABC，然后代入計算即可．
解答：解：（1）∵點E（2，n）和點D（4，m）在反比例函數的圖象上，
∴k=2n，k=4m，
∴4m=2n，
∴m=n，
∵點E（2，n）在直線y=x+b上，
∴點E的坐標是（2，1+b），
∴1+b=n，
∴b=n-1，
∵點B的橫坐標是4，點B在直線y=x+b上，
∴點B的坐標是（4，2+b），
∴點B的縱坐標是2+n-1=n+1；
故答案為：n；n+1．  
（2）

∵E（2，n），D（4，n），B（4，n+1），
∵△BDE的面積為2，
∴×（n+1）×2=2，
解得n=2，
∴直線AB的解析式為：y=x+1，A（-2，0）、F（0，1）．
∴B（4，3），D（4，1），C（4，0），
∴FD∥AC，
∵在射線FD上，異于點D的點P，使得以P、B、F為頂點的三角形與△ABC相似，只可能為△BFP∽△CAB，
∴=，=，
解得FP=5，
從而可得P（5，1）．
（3）以MC為斜邊，作等腰直角△QMC，則以Q為圓心、QM為半徑的⊙Q，與直線AB的公共點N恰好符合∠MNC=45°，
由題意知，在直線AB上，有且只有一點N，滿足∠MNC=45°，
∴⊙Q恰好與AB相切，
∴點Q到AB的距離d=QM=MC，
①
當運動時間為t（s）時，則M（2t，0），
當點M在C點左側時，則MC=4-2t，
由S_△QAB+S_△QAC+S_△QBC=S_△ABC可得：
×3×（4-2t）+×6×+×3×=×6×3．
解得t=20-6，
②
當M在C點右側時，則MC=2t-4，利用S_△QAB+S_△QAC--S_△QBC=S_△ABC，
同理可得t=．
點評：此題考查了反比例函數的綜合應用，關鍵是根據題意畫出圖形，要注意分兩種情況進行討論，用到的知識點是圓的有關性質、切線的性質、圓周角定理．