Question

如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從C市自西向東沿l方向直線延伸，測繪員在C處測得要安裝天然氣的A小區在C市正北方向1km處，測繪員沿主輸氣管道l步行到達D處，測得小區B位于D的正南方向2km處，且測得小區A位于小區B的北偏西45°方向，請你在主輸氣管道l上尋找支管道連接點N，使N到A小區和B小區鋪設的管道相等，并求CN的長．

Answer 1

分析：連接AB，作線段AB的垂直平分線，交CD于點N，則N是在主輸氣管道l上到A小區和B小區鋪設的管道相等的支管道連接點．先由∠ABD=∠BAC=45°，得出CD的長，再設CN=xkm，根據NA=NB列出方程，求解即可．

解答：解：連接AB，作線段AB的垂直平分線，交CD于點N，則N點為所求．
設AB與CD交于點O，連接NA、NB．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC∥BD，∴∠BAC=∠ABD．
∵小區A位于小區B的北偏西45°方向，∴∠ABD=45°，∴∠BAC=45°，
∴△OAC與△OBD都是等腰直角三角形，
∴OC=AC=1km，OD=BD=2km，
∴CD=OC+OD=3km．
設CN=xkm，則DN=（3-x）km．
在△ACN中，AN²=AC²+CN²=1+x²，
在△BDN中，BN²=BD²+DN²=4+（1-x）²，
∵AN=BN，∴1+x²=4+（1-x）²，
解得x=2．
故CN的長為2km．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，作圖-應用與設計作圖．根據線段垂直平分線的判定確定點N的位置是前提條件，由方向角的定義及等腰直角三角形的性質得出CD的長是解題的關鍵．