Question

（2010•漳州）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm．動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，其中點P以1cm/s的速度沿AC向終點C移動；點Q以cm/s的速度沿CB向終點B移動．過P作PE∥CB交AD于點E，設動點的運動時間為x秒．
（1）用含x的代數式表示EP；
（2）當Q在線段CD上運動幾秒時，四邊形PEDQ是平行四邊形；
（3）當Q在線段BD（不包括點B、點D）上運動時，求四邊形EPDQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題有兩種解法：①由于PE∥CD，易證得△APE∽△ACD，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得PE的長，②根據∠A的正切值求解．
（2）當Q在線段CD上運動時，0＜x＜2.4，若四邊形PEDQ是平行四邊形，則PE=DQ₁，可用x表示出DQ₁的長，聯立PE的表達式列方程求出x的值．
（3）當Q在線段BD上運動時，四邊形EPDQ是梯形，DQ、CP的長易求得，即可根據梯形的面積公式求得關于四邊形EPDQ的面積與x的函數關系式，根據函數的性質即可得到四邊形EPDQ的最大面積．
解答：解：（1）∵PE∥CB，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠EAP=∠DAC，
∴△AEP∽△ADC，（2分）
∴=，
∴=，（3分）
∴．（4分）

（2）由四邊形PEDQ₁是平行四邊形，可得EP=DQ₁．（5分）
即x=3-x，所以x=1.5．（6分）
∵0＜x＜2.4（7分）
∴當Q在線段CD上運動1.5秒時，四邊形PEDQ是平行四邊形．（8分）

（3）S_{四邊形EPDQ2}=（x+x-3）•（4-x）（9分）
=-x²+x-6=-（x-）²+，（10分）
又∵2.4＜x＜4，（12分）
∴當x=時，S取得最大值，最大值為．（13分）
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、梯形的面積以及二次函數最值的應用；在求圖形面積的最大或最小值時，通常轉化為二次函數的最值問題進行求解．