Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D向點A以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動時間（0≤t≤6）．那么：
（1）當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？
（2）當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）根據題意得出DQ=t，AP=2t，QA=6-t，由于△QAP為等腰直角三角形，則6-t=2t，求出t的值即可；
（2）由于以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC的對應邊不能確定，故應分兩種情況進行討論．

解答：解：（1）∵AB=12厘米，BC=6厘米，點P沿AB邊從點A開始向點B以2厘米/秒的速度移動；點Q沿DA邊從點D向點A以1厘米/秒的速度移動，
∴DQ=t，AP=2t，QA=6-t，
當△QAP為等腰直角三角形即6-t=2t，解得t=2；

（2）兩種情況：
當

AQ

AB

=

AP

BC

時，即

6-t

12

=

2t

6

，解得t=1.2（秒）；
當

AQ

BC

=

AP

AB

時，即

6-t

6

=

2t

12

，解得t=3（秒）．
故當經過1.2秒或3秒時，△QAP與△ABC相似．

點評：本題考查的是相似三角形的性質及等腰直角三角形的性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．