Question

【題目】如圖，正方形ABCO的邊OA、OC在坐標軸上，點B坐標為（3，3）．將正方形ABCO繞點A順時針旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點G，ED的延長線交線段BC于點P，連AP、AG．

（1）求證：△AOG≌△ADG；

（2）求∠PAG的度數；并判斷線段OG、PG、BP之間的數量關系，說明理由；

（3）當∠1=∠2時，求直線PE的解析式；

（4）在（3）的條件下，直線PE上是否存在點M，使以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明過程見解析；(2)PG=OG+BP；理由見解析；(3)y=x﹣3；(4)（0，﹣3）或（2，3）．

【解析】試題分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根據斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，判斷出△AOG≌△ADG即可．(2)首先根據三角形全等的判定方法，判斷出△ADP≌△ABP，再結合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根據∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度數；最后判斷出線段OG、PG、BP之間的數量關系即可．(3)首先根據△AOG≌△ADG，判斷出∠AGO=∠AGD；然后根據∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判斷出當∠1=∠2時，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后確定出P、G兩點坐標，即可判斷出直線PE的解析式．

(4)根據題意，分兩種情況：①當點M在x軸的負半軸上時；②當點M在EP的延長線上時；根據以M、A、G為頂點的三角形是等腰三角形，求出M點坐標是多少即可．

試題解析：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL） ∴△AOG≌△ADG．

(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP， 則∠DAP=∠BAP；

∵△AOG≌△ADG， ∴∠1=∠DAG； 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，

∴2∠DAG+2∠DAP=90°， ∴∠DAG+∠DAP=45°， ∵∠PAG=∠DAG+∠DAP， ∴∠PAG=45°；

∵△AOG≌△ADG， ∴DG=OG， ∵△ADP≌△ABP， ∴DP=BP， ∴PG=DG+DP=OG+BP．

(3)解：∵△AOG≌△ADG， ∴∠AGO=∠AGD， 又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，

∴∠AGO=∠PGC， 又∵∠AGO=∠AGD， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，

又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°， ∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，

∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°； 在Rt△AOG中， ∵AO=3， ∴OG=AOtan30°=3×=，

∴G點坐標為（，0），CG=3﹣， 在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），

∴P點坐標為：（3，3﹣3 ）， 設直線PE的解析式為：y=kx+b， 則，

解得：， ∴直線PE的解析式為y=x﹣3．

(4)①如圖1，當點M在x軸的負半軸上時，， ∵AG=MG，點A坐標為（0，3），

∴點M坐標為（0，﹣3）．

②如圖2，當點M在EP的延長線上時，， 由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，

∴EP與AB的交點M，滿足AG=MG， ∵A點的橫坐標是0，G點橫坐標為，

∴M的橫坐標是2，縱坐標是3， ∴點M坐標為（2，3）．

綜上，可得 點M坐標為（0，﹣3）或（2，3）．