Question

如圖，等邊三角形ABC中，AB=2，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，設梯形DBCE的中位線長為x，△ADE的面積為y．
（1）寫出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當S_梯形DBCE=3S_ADE時，求梯形DBCE的中位線長．

Answer 1

分析：（1）先根據等邊三角形ABC中，AB=2求出三角形的面積，再根據DE∥BC可判斷出△ADE∽△ABC，由梯形DBCE的中位線長為x得出DE的長，根據相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解答；
（2）設S_ADE=S，則S_梯形DBCE=3S，再由相似三角形的性質求出DE的長，再根據梯形的中位線定理即可求出答案．

解答：解：（1）∵等邊三角形ABC中，AB=2，
∴S_△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，
∵梯形DBCE的中位線長為x，
∴DE=2x-2，
∵DE∥BC，
∴

y

3

=（

2x-2

2

）²，
∴y=

3

x²-2

3

x+

3

；

（2）設S_△ADE=S，則S_梯形DBCE=3S，S_△ABC=4S，
∵△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

S 4S

，即

DE

2

=

1

2

，
解得DE=1，
∴梯形DBCE的中位線長為：

DE+BC

2

=

1+2

2

=

3

2

．
故答案為：y=

3

x²-2

3

x+

3

；

3

2

．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質及梯形的中位線定理，熟知相似三角形面積的比等于相似比的平方是解答此題的關鍵．