Question

已知拋物線y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）與y軸交于點C，與x軸的兩個交點A（x₁，0），B（1，0）在原點的兩旁．
（1）求m的值及拋物線的頂點P的坐標；
（2）設過A、B、C三點的圓O′與直線y=-x-3交于點E．
①試判斷△BCE的形狀，并證明你的結論；
②求△ACE的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）把B點（1，0）代入拋物線y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）解出m的值，然后根據A、B兩點在原點兩旁判斷出m的值．
（2）①由題意可知圓心O′在線段AB的垂直平分線上，又知AB的垂直平分線是拋物線的對稱軸，故可設O′坐標為（-1，y），C點坐標為（0，3），B點坐標為（1，0），求出O′的坐標，進而求出圓的半徑，聯立直線y=-x-3與圓方程求出E點的坐標，再證明CE是圓的直徑，進而判斷出△BCE的形狀；
②由CE是直徑，可知∠CAE是直角，然后根據兩點間距離公式求出AC和AE的長，再根據直角三角形面積公式求出△ACE的面積．
解答：解：（1）∵B（1，0）在拋物線y=-x²-（2m+2）x-（m²+4m-3）上，
∴0=-1-2m-2-m²-4m+3，
解得m=0或-6，
當m=-6時，拋物線y=-x²+10x-9，此時A、B兩點在原點一側，
∴m=0，
∴拋物線y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴拋物線的頂點坐標P（-1，4）；

（2）①由題意可知圓心O′在線段AB的垂直平分線上，
又知AB的垂直平分線是拋物線的對稱軸，
故可設O′坐標為（-1，y），C點坐標為（0，3），B點坐標為（1，0），
∵O′A=O′B，
∴1+（y-3）²=4+y²，
解得y=1，
∴圓心O′坐標為（-1，1），
∴圓的方程為（x+1）²+（y-1）²=5，
又∵圓O′與直線y=-x-3交于點E，
∴，
解得x₁=-3，x₂=-2，
∴E點坐標為（-2，-1），
∴設直線CE的方程為y=kx+b，
∴，
解得k=2，
∴直線CE方程為y=2x-3，
∵點O′坐標為（-1，1），
∴該點在直線CE上，
∴C、O′E三點共線，
∴CE為⊙O′的直徑，
∴∠CBE=90°，
∴△BCE為直角三角形；
②∵CE是⊙O′直徑，
∴∠CAE是直角，
AE==，AC==3，
∴S△ACE=AE•AC=××3=3．
點評：本題主要考查二次函數的知識點，涉及了圓方程的求法，三角形形狀的判斷，三角形面積的求解，此題綜合性較大，此題難度也較大，特別是（2）問需要熟練掌握直線與圓的相關知識．