Question

（1）如圖銳角的正弦值和余弦值都隨著銳角的確定而確定，變化而變化，試探索隨著銳角度數的增大，它的正弦值和余弦值變化的規律．
（2）根據你探索到的規律試比較18°，34°，50°，62°，88°，這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比較大小（在空格處填寫“＞”“=”“＜”號），若α=45°，則sinα______cosα；若0°＜α＜45°，則sinα______cosα；若45°＜α＜90°，sinα______ cosα．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據銳角三角函數的概念，即可發現隨著一個銳角的增大，它的對邊在逐漸增大，它的鄰邊在逐漸減小，故正弦值隨著角的增大而增大，余弦值隨著角的增大而減小．
（2）根據上述規律，要比較銳角三角函數值的大小，只需比較角的大小．
（3）根據概念以及等腰三角形的性質，顯然45°的正弦值和余弦值是相等的，再根據銳角三角函數值的變化規律，即可得到結論．
解答：解：
（1）在圖中，令AB₁=AB₂=AB₃，B₁C₁⊥AC于點C₁，B₂C₂⊥AC于點C₂，B₃C₃⊥AC于點C₃，
顯然有：B₁C₁＞B₂C₂＞B₃C₃，∠B₁AC＞∠B₂AC＞∠B₃AC．
∵sin∠B₁AC=，sin∠B₂AC=，sin∠B₃AC=，
而＞＞，
∴sin∠B₁AC＞sin∠B₂AC＞sin∠B₃AC．
在圖中，Rt△ACB3中，∠C=90°，
cos∠B₁AC=，cos∠B₂AC=，cos∠B₃AC=，
∵AB₃＞AB₂＞AB₁，
∴＞＞．
即cos∠B₃AC＜cos∠B₂AC＜cos∠B₁AC；
結論：銳角的正弦值隨角度的增大而增大，銳角的余弦值隨角度的增大而減小．

（2）由（1）可知：
sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．

（3）若∠α=45°，則sinα=cosα；若∠α＜45°，則sinα＜cosα；若∠α＞45°，則sinα＞cosα．
故答案為：=，＜，＞．
點評：本題考查了銳角三角函數的增減性，理解銳角三角函數的概念，掌握銳角三角函數值的變化規律以及正余弦的轉換方法．