Question

在平面直角坐標系中，A點的坐標為（0，4），C點的坐標為（10，0）．
（1）如圖1，若直線AB∥OC，點D是線段OC的中點，點P在射線AB上運動，當△OPD是腰長為5的等腰三角形時，直接寫出點P的坐標；
（2）如圖2，若直線AB與OC不平行，AB所在直線y=-x+4上是否存在點P，使△OPC是直角三角形，且∠OPC=90°，若有這樣的點P，求出它的坐標，若沒有，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，滿足條件的有三種情況：當P₁D=OD=5時，點P₁的坐標為（2，4）；當OP₂=OD，點P₂的坐標為（3，4）；當DP₃=OD=5時，點P₃的坐標為（8，4）
（2）如圖，設出點P的坐標，過點P作PH⊥OC于點H，由△OPH∽△PCH得到

PH

CH

=

OH

PH

建立方程求解．

解答：解：（1）P₁（3，4），P₂（2，4），P₃（8，4）；

（2）設點P的坐標為（a，-a+4），過點P作PH⊥OC于點H，
∵∠OPC=90°，

CH

OH

=

PC

PO

，
∴△OPH∽△PCH．
∴

PH

CH

=

OH

PH

即PH²=OH．CH．
∵（-a+4）²=a（10-a），
∴a²-8a+16=10a-a²，
∴2a²-18a+16=0，解得a₁=1，a₂=8．
∴P₁（1，3），P₂（8，-4）．

另法：由題意可設p（a，-a+4），
∵∠OPC=90°；C（10，0），
∴OC中點D為（5，0），
DP=

1

2

OC=5，
∴由兩點間距離公式得 DP²=（5-a）²+（4-a）²=25，
解得a=1或8；
-a+4=3或-4，
即存在點P（1，3）或（8，-4）．

點評：本題利用了勾股定理和相似三角形的性質求解．