Question

【題目】閱讀下列材料解決問題：

材料：古希臘著名數學家 畢達哥拉斯發現把數1，3，6，10，15，21…這些數量的（石子），都可以排成三角形，則稱像這樣的數為三角形數．

把數 1，3，6，10，15，21…換一種方式排列，即

1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

…

從上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形數“名副其實”．

（1）設第一個三角形數為a1=1，第二個三角形數為a2=3，第三個三角形數為a3=6，請直接寫出第n個三角形數為an的表達式（其中n為正整數）．

（2）根據（1）的結論判斷66是三角形數嗎？若是請說出66是第幾個三角形數？若不是請說明理由．

（3）根據（1）的結論判斷所有三角形數的倒數之和T與2的大小關系并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）an=（n為正整數）；（2）是，是第11個三角形數；（3）T＜2．理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據題意歸納總結得到一般性規律，寫出即可；（2）66是三角形數，理由為：根據得出的規律確定出原因即可；（3）表示出T后，利用拆項法整理判斷即可．

試題解析：（1）根據題意得：an=（n為正整數）；（2）66是三角形數，理由如下：當=66時，解得：n=11或n=﹣12（舍去），則66是第11個三角形數；（2）T=++++…+=++++…+=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=，∵n為正整數，∴0<＜1，則T＜2．