Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜邊AB的兩個端點分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動，下列結論：

①若C、O兩點關于AB對稱，則OA=2；

②C、O兩點距離的最大值為4；

③若AB平分CO，則AB⊥CO；

④斜邊AB的中點D運動路徑的長為；

其中正確的是_____（把你認為正確結論的序號都填上）．

Answer 1

【答案】①②

【解析】試題解析：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，∴AB=4，AC==，①若C、O兩點關于AB對稱，如圖1，∴AB是OC的垂直平分線，則OA=AC=；所以①正確；

②如圖1，取AB的中點為E，連接OE、CE，∵∠AOB=∠ACB=90°，∴OE=CE=AB=2，當OC經過點E時，OC最大，則C、O兩點距離的最大值為4；所以②正確；

③如圖2，當∠ABO=30°時，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，∴四邊形AOBC是矩形，∴AB與OC互相平分，但AB與OC的夾角為60°、120°，不垂直，所以③不正確；

④如圖3，斜邊AB的中點D運動路徑是：以O為圓心，以2為半徑的圓周的，則： =π．所以④不正確；

綜上所述，本題正確的有：①②；

故答案為：①②．