Question

如圖，點P為矩形ABCD內一點，作平行四邊形ABQP，連接CP、CQ、BP，E、F、G、H分別是BP、BQ、CQ、CP的中點，
（1）四邊形EFGH的形狀是

矩形

；
（2）若矩形ABCD的面積為S，則四邊形EFGH的面積等于

1

4

S

（用含S的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）根據三角形的中位線定理可以證得：HG∥EF，且HG=EF，則四邊形EFGH是平行四邊形，然后根據平行線的性質可以證得∠HEF=90°，則平行四邊形EFGH是矩形；
（2）首先根據題意可得S_{四邊形PBQC}=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

S，再根據S_矩形HGFE=

1

2

S_{四邊形PBQC}，可得答案．

解答：證明：∵E，F分別是BP，BQ的中點，
∴EF∥PQ且EF=

1

2

PQ，
同理，GH∥PQ，GH=

1

2

PQ，EH∥BC，
∴HG∥EF，且HG=EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∵PQ∥BA∥HG，
∴∠FMC=∠ABC=90°，
∵EH∥CB，
∴∠HEF=∠FMC=90°，
∴平行四邊形EFGH是矩形；

（2）S_{四邊形PBQC}=S_△PBC+S_△CBQ=

1

2

×BC×PO+

1

2

BC×QO=

1

2

BC•（PO+QO）=

1

2

CB•PQ，
∵四邊形ABQP是平行四邊形，
∴AB=QP，
∴S_{四邊形PBQC}=

1

2

BC•AB=

1

2

S_矩形ABCD=

1

2

S，
∵E、F、G、H分別是BP、BQ、CQ、CP的中點，
∴S_矩形HGFE=

1

2

S_{四邊形PBQC}=

1

4

S．
故答案為：

1

4

S．

點評：此題主要考查了中點四邊形，關鍵是掌握三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．