Question

某校九年級學習小組在探究學習過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），如圖（2），AE與BC交于點M，AC與EF交于點N，BC與EF交于點P．
（1）求證：AM=AN；
（2）當旋轉角α=30°時，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現將Rt△AEF繞A點按逆時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，
在△ABM和△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM=AN；

（2）解：當旋轉角α=30°時，四邊形ABPF是菱形．
理由：連接AP，
∵∠α=30°，
∴∠FAN=30°，
∴∠FAB=120°，
∵∠B=60°，
∴AF∥BP，
∴∠F=∠FPC=60°，
∴∠FPC=∠B=60°，
∴AB∥FP，
∴四邊形ABPF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴平行四邊形ABPF是菱形．
分析：（1）根據旋轉的性質得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，進而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；
（2）利用旋轉的性質得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四邊形ABPF是平行四邊形，再利用菱形的判定得出答案．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知識，根據旋轉前后圖形大小不發生變化得出是解題關鍵．