Question

小明在一次數學興趣小組活動中，對一個數學問題作如下探究：

問題情境：如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，點E為DC邊的中點，連結AE并延長交BC的延長線于點F．求證：S_{四邊形ABCD}＝S_△ABF．（S表示面積）

問題遷移：如圖2，在已知銳角∠AOB內有一定點P．過點P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點M、N．小明將直線MN繞著點P旋轉的過程中發現，△MON的面積存在最小值．請問當直線MN在什么位置時，△MON的面積最小，并說明理由．

實際應用：如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發生疫情，防疫部分計劃以公路OA、OB和經過防疫站的一條直線MN為隔離線，建立一個面積最小的三角形隔離區△MON．若測得∠AOB＝66º，∠POB＝30º，OP＝4km，試求△MON的面積．（結果精確到0.1km²）（參考數據：sin66º≈0.91，tan66º≈2.25，≈1.73）

拓展延伸：如圖4，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A、B、C、P的坐標分別為（6，0）、（6，3）、、（4，2），過點P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個四邊形，求其中以點O為頂點的四邊形的面積的最大值．

Answer 1

問題情境：根據已知可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE，從而得出結論。

問題遷移：根據問題情境的結論可以得出當直線旋轉到點P是MN的中點時S_△MON最小，過點M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質可以得出結論。

實際運用：∴。

拓展延伸：截得四邊形面積的最大值為10

【解析】

分析：問題情境：根據已知可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE，從而得出結論。

問題遷移：根據問題情境的結論可以得出當直線旋轉到點P是MN的中點時S_△MON最小，過點M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質可以得出結論。

實際運用：如圖3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分別為P₁，M₁，再根據條件由三角函數值就可以求出結論。

拓展延伸：分情況討論當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N，延長OC、AB交于點D，由條件可以得出AD=6，就可以求出△OAD的面積，再根據問題遷移的結論就可以求出最大值；

當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，由B、C的坐標可得直線BC的解析式，就可以求出T的坐標，從而求出△OCT的面積，再由問題遷移的結論可以求出最大值，通過比較即可以求出結論。

解：問題情境：證明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE。

∵點E為DC邊的中點，∴DE=CE。

∵在△ADE和△FCE中，，

∴△ADE≌△FCE（AAS）。∴S_△ADE=S_△FCE。

∴S_{四邊形ABCE}+S_△ADE=S_{四邊形ABCE}+S_△FCE，即S_{四邊形ABCD}=S_△ABF。

 問題遷移：當直線旋轉到點P是MN的中點時S△MON最小，理由如下：

如圖2，過點P的另一條直線EF交OA、OB于點E、F，

設PF＜PE，過點M作MG∥OB交EF于G，

由問題情境可以得出當P是MN的中點時S_{四邊形MOFG}=S_△MON。

∵S_{四邊形MOFG}＜S_△EOF，∴S_△MON＜S_△EOF。

∴當點P是MN的中點時S_△MON最小。

實際運用：如圖3，作PP₁⊥OB，MM₁⊥OB，垂足分別為P₁，M₁，

在Rt△OPP₁中，∵∠POB=30°，

∴PP₁=OP=2，OP₁=2。

由問題遷移的結論知，當PM=PN時，△MON的面積最小，

∴MM₁=2PP₁=4，M₁P₁=P₁N。

在Rt△OMM₁中，，即，

∴。∴。

∴。

∴。

 拓展延伸：①如圖4，當過點P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點M、N，延長OC、AB交于點D，

∵C，∴∠AOC=45°。∴AO=AD。

∵A（6，0），∴OA=6。∴AD=6。

∴。

由問題遷移的結論可知，當PN=PM時，△MND的面積最小，

∴四邊形ANMO的面積最大。

作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足分別為P₁，M₁，

∴M₁P₁=P₁A=2。∴OM₁=M₁M=2，∴MN∥OA。

∴。

②如圖5，當過點P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，

設直線BC的解析式為y=kx+b，

∵C、B（6，3），

∴，解得：。

∴直線BC的解析式為。

當y=0時，x=9，∴T（9，0）。

∴。

由問題遷移的結論可知，當PM=PN時，△MNT的面積最小，

∴四邊形CMNO的面積最大。

∴NP₁=M₁P₁，MM₁=2PP₁=4。∴，解得x=5。∴M（5，4）。

∴OM₁=5。

∵P（4，2），∴OP₁=4。∴P₁M₁=NP₁=1。∴ON=3。∴NT=6。

∴。

∴。

∴綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10。