Question

（2012•中山二模）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=45度．則有結論EF=BE+FD成立；
（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結論EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請說明理由．
（2）若將（1）中的條件改為：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延長BC到點E，延長CD到點F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結論EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）結論仍然成立．延長CB到G，使BG=FD，根據已知條件容易證明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，進一步得到∠EAF=∠GAE，現在可以證明△AEF≌△AEG，然后根據全等三角形的性質就可以證明結論成立；
（2）結論不成立，應為EF=BE-DF，如圖在CB上截取BG=FD，由于∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，可以得到∠B=∠ADF，再利用已知條件可以證明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠EAF=∠GAE，現在可以證明△AEF≌△AEG，再根據全等三角形的性質就可以證明EF=EG=EB-BG=EB-DF．
解答：解：（1）延長CB到G，使BG=FD，連接AG，
∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．

（2）結論不成立，應為EF=BE-DF，
證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵AB=AD，
∴△ABG≌△ADF．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD
=∠EAF=

1

2

∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
∴△AEG≌△AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE-BG
∴EF=BE-FD．
點評：此題是開放性試題，首先在特殊圖形中找到規律，然后再推廣到一般圖形中，對學生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．