Question

已知關于x的方程kx²+2（k+1）x-3=0．
（1）請你為k選取一個合適的整數，使方程有兩個有理根，并求出這兩個根；
（2）若k滿足不等式16k+3＞0，試討論方程實數根的情況．

Answer 1

【答案】分析：（1）選取k的值，注意使其滿足使方程有兩個有理根，解此方程即可；
（2）分別從當k=0時（即方程為一元一次方程）與當k＞-且k≠0時（即方程為一元二次方程）去分析求解，當是一元二次方程時利用根的判別式即可判定方程實數根的情況．
解答：解：（1）比如：取k=3，原方程化為3x²+8x-3=0．    …（1分）
即：（3x-1）（x+3）=0，
解得：x₁=-3，x₂=；                      …（2分）

（2）由16+k＞0，解得k＞-．              …（3分）
∵當k=0時，原方程化為2x-3=0；
解得：x=，
∴當k=0時，方程有一個實數根  …（4分）
∵當k＞-且k≠0時，方程kx²+2（k+1）x-3=0為一元二次方程，
∴△=[2（k+1）]²-4×k×（-3）
=4k²+8k+4+12k
=4k²+20k+4
=[（2k）²+2×2k×1+1]+（16k+3）
=（2k+1）²+16k+3，…（5分）
∵（2k+1）²≥0，16k+3＞0，
∴△=（2k+1）²+16k+3＞0．  …（6分）
∴當k＞-且k≠0時，一元二次方程kx²+2（k+1）x-3=0有兩個不等的實數根．…（7分）
點評：此題考查了一元二次方程根與系數的關系、一元二次方程的解法、根的判別式以及配方法的應用等知識．此題難度適中，解題的關鍵是注意分別從當k=0時（即方程為一元一次方程）與當k＞-且k≠0時（即方程為一元二次方程）去分析求解．